| Neste trabalho estimamos o comprimento de uma geodésica fechada, sem autointerseções,numa superfície convexa bidimensional duas vezes continuamente diferenciável,de curvatura positiva. Afirmamos que se k é o ínfimo da curvatura, então o comprimentode uma geodésica fechada é no máximo 2pi/sqrt(k) (aqui sqrt denota raiz quadrada), e a igualdade ocorre se e somente se a superfície é uma esfera de raio 1/sqrt(k).
Para mostrar tal resultado instituímos a definição de polígono em uma superfície dada por A. D. Alexandrov na sua obra “Intrinsic Geometry of Convex Surfaces”,e ainda utilizamos o seu teorema de colagem que dá condições para que ao tomarmos polígonos em superfícies de curvatura positiva e ao identificarmos seus lados ainda termos uma superfície de curvatura positiva. Utilizando os resultados do mesmo autor sobre superfícies convexas em espaços de curvatura positiva, mostramos um lema sobre o perímetro de um polígono convexo em uma superfície de tipo descrito acima. Finalmente, utilizamos um resultado de V. A. Toponogov, do artigo “Riemmanian spaces having their curvature bounded from below by a positive number”, para analisar o que ocorre na igualdade.
Concluímos que o resultado também é válido para um loop geodésico em uma superfície com as características citadas acima.
Como perspectivas, pensamos um resultado similar para superfícies bidimensionais com duas componentes conexas de curvatura positiva.
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