| As funções usuais da Análise são analíticas, isto é, admitem, em torno de cada ponto do seu domínio, um desenvolvimento de Taylor, o qual representa a função dada como uma soma de uma série de potências. Além disso, em cada subconjunto compacto de um intervalo de convergência, a série de potências converge uniformemente. Como se sabe, as funções analíticas possuem derivadas de todas as ordens.
Um resultado notável, demonstrado por K. Weierstrass em 1885, generaliza a situação acima descrita. Segundo Weierstrass, qualquer função contínua f:[a,b]->R, mesmo que não possua derivada, é limite uniforme de uma sequência de polinômios no seu intervalo de definição [a,b].
Isto se exprime dizendo que toda função contínua num intervalo compacto pode ser uniformemente aproximada por polinômios.
O Teorema Aproximação de Weierstrass tem um complemento importante para funções deriváveis. Neste contexto ele afirma para toda função f:[a,b]->R de classe C^k (isto é, f é derivável até a ordem k e k-ésima derivada de f é contínua) existe uma sequência de polinômios cuja i-ésima derivada converge uniformemente, em [a,b], para a i-ésima derivada de f, para todo i=1,...,k.
Uma profunda e criadora análise do Teorema de Aproximação de Weierstrass, levou M. Stone (1937) a obter uma generalização desse teorema, que se aplica a espaços métricos compactos arbirtários. |