| As equações diferenciais são usadas para construir modelos matemáticos de fenômenos físicos tais como aqueles encontrados na Dinâmica de Fluidos, em Mecânica Clássica e Quântica. Deste modo, o estudo de equações diferenciais é um campo extenso e importante na matemática aplicada, especialmente na Física. As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, engenharia, química, biologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos. A lei da física mais importante para mecânica clássica que é a segunda lei de Newton é na verdade uma equação diferencial de segunda ordem, que solucionadas nos fornecem resultados necessários e aproximados mas bem satisfatórios
Nesse trabalho estudaremos a solução da equação de Lane-Emden aplicada a um caso particular. Recebe esse nome em homenagem aos astrofísicos Jonathan Lane e Robert Emden. Essa equação é uma equação diferencial ordinária com importantes aplicações em teoria de campos não-linear e configurações de equilíbrio hidrostático de estrelas esféricas politrópicas.
Iremos resolver a segunda lei de Newton para o caso do oscilador harmônico dependente do tempo com massa m(t) proporcional a t^a e constante elástica k(t) proporcional t^-(a+1) para diferentes valores de a. Para esse caso a segunda lei de Newton resulta numa equação de Lane-Emden. Representaremos graficamente a posição e a velocidade do oscilador harmônico em função do tempo. A equação de Lane-Emden para o sistema de interesse é dada por d2x/dt2+a/t dx/dt=-xCo^2/t^(2a +2), onde x é a posição e Co é uma constante. |